پی‌یار نهم

• مجموعه را با آکولاد نشان می‌دهیم، مثل {۱، ۲، ۳}. مجموعهٔ بدون عضو را مجموعهٔ تهی می‌نامیم.
• اشتراک A ∩ B عضوهای مشترک و اجتماع A ∪ B همهٔ عضوها (بدون تکرار) است. تفاضل A − B عضوهای A است که در B نیستند.
• مجموعه‌ای با n عضو، ۲ⁿ زیرمجموعه دارد.

مثال: اگر A = {۱، ۲، ۳} و B = {۲، ۳، ۴} باشد، آنگاه A ∩ B = {۲، ۳} و A ∪ B = {۱، ۲، ۳، ۴}.

• عدد گویا را می‌توان به صورت کسر نوشت، مثل ½ یا ۰٫۲۵. عدد گنگ را نمی‌توان، مثل √۲ و π.
• عددهای گویا و گنگ با هم، عددهای حقیقی را می‌سازند و همه روی محور اعداد جا دارند.
• قانون رادیکال: √(a×b) = √a × √b. با آن می‌توان رادیکال را ساده کرد.

مثال: √۱۸ = √(۹×۲) = ۳√۲

• در هر اثبات، آنچه داده شده «فرض» و آنچه باید ثابت شود «حکم» است. هر گام باید دلیل داشته باشد.
• مجموع زاویه‌های داخلی هر مثلث ۱۸۰° است. زاویهٔ خارجی مثلث با مجموع دو زاویهٔ داخلی غیرمجاورش برابر است.
• دو مثلث به حالت‌های «ض ز ض»، «ز ض ز» و «ض ض ض» همنهشت‌اند. مجموع زاویه‌های داخلی n ضلعی (n − ۲) × ۱۸۰° است.

مثال: در مثلثی با زاویه‌های ۵۰° و ۶۰°، زاویهٔ سوم برابر ۱۸۰ − ۱۱۰ = ۷۰° است.

• ضرب با پایهٔ برابر: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ و تقسیم: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
• توان توان: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. همچنین a⁰ = ۱ و a⁻ⁿ = ۱ ÷ aⁿ (به شرط a ≠ ۰).
• در نمادگذاری علمی، عدد را به صورت a × ۱۰ⁿ می‌نویسیم که a عددی از ۱ تا کمتر از ۱۰ است.

مثال: ۲³ × ۲⁴ = ۲⁷ = ۱۲۸ و ۵۰۰۰۰ = ۵ × ۱۰⁴

• اتحاد مربع دوجمله‌ای: (a + b)² = a² + ۲ab + b² و (a − b)² = a² − ۲ab + b².
• اتحاد مزدوج: a² − b² = (a + b)(a − b).
• برای تجزیه، اول فاکتور مشترک بگیر، بعد ببین اتحادی به کار می‌آید یا نه.

مثال: x² − ۹ = (x + ۳)(x − ۳) و (x + ۲)² = x² + ۴x + ۴

• معادلهٔ خط y = ax + b است. a شیب خط و b عرض از مبدأ (محل برخورد با محور y) است.
• شیب برابر است با تغییر y ÷ تغییر x. خط‌هایی که شیب برابر دارند موازی‌اند.
• دستگاه دو معادلهٔ دو مجهولی را با روش جانشینی یا حذفی حل می‌کنیم. جواب، نقطهٔ برخورد دو خط است.

مثال: در خط y = ۲x + ۱ شیب ۲ است و خط از نقطهٔ (۰، ۱) می‌گذرد.

• عبارت گویا کسری است که صورت و مخرجش عبارت جبری است و مخرج هرگز صفر نمی‌شود.
• برای ساده کردن، صورت و مخرج را تجزیه کن و عامل‌های مشترک را حذف کن.
• برای جمع و تفریق، اول مخرج‌ها را مشترک کن، بعد صورت‌ها را جمع یا تفریق کن.

مثال: (x² − ۱) ÷ (x − ۱) = x + ۱ به شرط x ≠ ۱

• حجم منشور و استوانه: مساحت قاعده × ارتفاع. برای استوانه V = πr²h می‌شود.
• حجم مخروط و هرم یک‌سوم حجم منشور یا استوانه‌ای با همان قاعده و ارتفاع است: V = ⅓πr²h.
• حجم کره V = ⁴⁄₃πr³ است. مساحت جانبی استوانه ۲πrh است.

مثال: استوانه‌ای با r = ۳ و h = ۵ حجمی برابر π × ۹ × ۵ = ۴۵π دارد.